实数域的构造
有序域的定义
- 加法交换群
- 非零乘法交换群
- 乘法对加法分配律
- 加法保序性: x<y\implies x+z<y+z
- 乘法保序性: x>0,y>0\implies xy>0
分划的定义(Dedekind cut)
已知有理数域Q, 则称子集a\subseteq Q为分划, 如果满足
- 非空: a\neq\emptyset
- 非满: a\neq Q
- 向下包含: p\in a\land q<p\implies q\in a
- 无最大值: \forall p\in a,\exists r\in a,p<r
命题1: 存在具有最小上界性的有序域R
并且任意两个具有最小上界性的有序域互相序同构
证明: 通过Dedekind分割, 用有理数域Q来构造实数域R
- 分划集 R:=\{a\subseteq Q:a\text{是分划}\}
- 序关系 a<\beta:=a\subsetneq\beta
- 加法 a+\beta:=\{r+s|r\in a,s\in\beta\}
- 乘法 a\beta:=\begin{cases}
\{p\leq rs|r\in a^+,s\in\beta^+\} & a>\~0,\beta>\~0 \\
(-a)(-\beta) & a<\~0,\beta<\~0 \\
-[(-a)\beta] & a<\~0,\beta>\~0 \\
-[a(-\beta)] & a>\~0,\beta<\~0 \end{cases}
(1)满足严格全序关系
- 三歧性: a\subsetneq\beta\mid a=\beta\mid a\supsetneq\beta
- 传递性: a\subsetneq\beta\land\beta\subsetneq\gamma\implies a\subsetneq\gamma
(2)具有最小上界性
对于非空子集A\subseteq R, 有上界\beta\in R
现欲证明 \gamma:=\bigcup\limits_{\forall a\in A} a\implies\gamma=\sup A\in R
- 非空: \forall a\in A,a\neq\emptyset\implies\gamma\neq\emptyset
- 非满: \forall a\in A,a\subseteq\beta\implies\gamma\subseteq\beta\implies\gamma\neq Q
- 向下包含: \forall p\in\gamma,q<p\implies\exists a\in A,p\in a\implies q\in a\subseteq\gamma
- 无最大值: \forall p\in\gamma\implies\exists a\in A,p\in a\implies\exists r\in a\subseteq\gamma,p<r
- 上界: \forall a\in A,a\subseteq\gamma
- 最小: \forall\delta\subsetneq\gamma,\gamma\setminus\delta\neq\emptyset\implies\exists a\in A,\delta\subseteq a
(3)满足有序域公理
- 加法封闭: 现欲证明\gamma=\{r+s\mid r\in a,s\in\beta\}\in R
- 非空: a,\beta\neq\emptyset\implies\gamma\neq\emptyset
- 非满: r'\notin a,s'\notin\beta\implies r'+s'\notin\gamma
- 向下包含: \forall p\in\gamma,q<p\implies\exists r\in a,s\in\beta,q<r+s
\implies q-s<r\implies q-s\in a\implies q=(q-s)+s\in a+\beta
- 无最大值: \forall p\in\gamma\implies\exists r\in a,s\in\beta,p=r+s
\implies\exists r'\in a,s'\in\beta,r<r',s<s'\implies p<r'+s'\in a+\beta
- 加法结合律: (a+\beta)+\gamma=a+(\beta+\gamma)
- 加法单位元: 现欲证明\~0:=\{q\mid q<0\}\implies a+\~0=a
- a+\~0\subseteq a: \forall r\in a,r+q<r\implies r+q\in a
- a\subseteq a+\~0: \forall r\in a,\exists r'\in a,r<r'\implies r=r'+(r-r')\in a+\~0
- 加法逆元: 现欲证明\beta:=\{p\mid\exists k>0,-p-k\notin a\}\in R\implies a+\beta=\~0
- 非空: \forall r'\notin a,\forall k>0,-(r'+k)\in\beta\implies\beta\neq\emptyset
- 非满: \forall r\in a,\forall k>0,-(-r)-k\in a\implies -r\notin\beta\implies\beta\neq Q
- 向下包含: \forall p\in\beta,q<p\implies -q-k>-p-k\notin a\implies q\in\beta
- 无最大值: \forall p\in\beta,-(p+k/2)-k/2\notin a\implies p<p+k/2\in\beta
- a+\beta\subseteq \~0: \forall p\in\beta,-p-k\notin a\implies\forall r\in a,r<-p\implies r+p<0
- \~0\subseteq a+\beta: \forall q<0, 构造w=-q>0
有理数域具有阿基米德性\implies\exists n\in\mathbb{N},nw\in a\land(n+1)w\notin a
分划a无最大值\implies\exists k>0,nw+k\in a
构造 p=-(n+1)w-k\implies -p-k\notin a\implies p\in\beta
此时 q=-w=[nw+k]+p\in a+\beta
- 加法交换律: a+\beta=\beta+a
- 乘法封闭: 现欲证明a,\beta>\~0\implies\gamma:=\{p\leq rs\mid r\in a^+,s\in\beta^+\}\in R
- 非空: a,\beta\neq\emptyset\implies\gamma\neq\emptyset
- 非满: \forall r'\notin a,s'\notin\beta\implies r's'\notin\gamma
- 向下包含: \forall p\in\gamma,q<p\implies\exists r\in a^+,s\in\beta^+,q<p\leq rs
- 无最大值: \forall p\in\gamma\implies\exists r\in a,s\in\beta,p\leq rs
\implies\exists r'\in a^+,s'\in\beta^+,r<r',s<s'\implies p<r's'\in a\beta
- 乘法结合律: (a\beta)\gamma=a(\beta\gamma)
- 乘法单位元: 现欲证明\~1:=\{q\mid q<1\}\implies a\~1=a
- a\~1\subseteq a: \forall r\in a^+,rq<r\implies rq\in a
- a\subseteq a\~1: \forall r\in a^+,\exists r'\in a^+,r<r'\implies r\leq r'(r/r')
- 乘法逆元: 构造P:=\{p\mid\exists k>1,1/(pk)\notin a\}
现欲证明 a>\~0,\beta:=\{b\leq p\in P\}\in R\implies a\beta=\~1
- 非空: \forall r'\notin a,\forall k>1,1/(r'k)\in P\implies\beta\neq\emptyset
- 非满: \forall r\in a^+,\forall k>1,r/k\in a\implies 1/r\notin P\implies\beta\neq Q
- 向下包含: \forall b\in\beta,q<b\implies\exists p\in P,q<b\leq p\implies q\in\beta
- 无最大值: \forall p\in P,\exists k>1,1/(pk)\notin a\implies\exists k_1,k_2>1,k=k_1k_2
\implies1/(pk_1k_2)\in a\implies p<pk_1\in P
- a\beta\subseteq \~1: \forall r\in a^+,1/r\notin P\implies\forall b\in\beta^+,b<1/r\implies rb<1
- \~1\subseteq a\beta: \forall q<1, 构造w=1/q>1
有理数域具有阿基米德性\implies\exists n\in\mathbb{N},w^n\in a\land w^{n+1}\notin a
分划a无最大值\implies\exists k>1,w^nk\in a
构造 p=1/(w^{n+1}k)\implies 1/(pk)\notin a\implies p\in\beta
此时 q=1/w=[w^nk]\cdot p\in a\beta
- 乘法交换律: a\beta=\beta a
- 乘法对加法分配律: \gamma(a+\beta)=\gamma a+\gamma\beta
- 加法保序性: a<\beta\implies a+\gamma<\beta+\gamma
- 乘法保序性: a>0,\beta>0\implies a\gamma>0
实数域的性质:
- 阿基米德性: \forall x,y>0,\exists n\in\mathbb{N},nx>y
- 稠密性: \forall x<y,\exists p\in Q,x<p<y
(1): 如果不成立, 那么A=\{nx:\forall n\in\mathbb{N}\}有上界
由最小上界性可知\exists a=\sup A\implies a-x不是上界
那么\exists m\in\mathbb{N},a-x<mx\implies a<(m+1)x 得出矛盾
(2): 由(1)知 \exists n\in\mathbb{N},n(y-x)>1 (细分)
以及 \exists m\in\mathbb{Z},m-1\leq nx<m (稍大)
因此 nx<m\leq 1+nx<ny\implies x<\frac{m}{n}<y
引理1: b^n-a^n=(b-a)(b^{n-1}+\cdots+b^{n-1-i}a^i+\cdots+a^{n-1})
那么满足 0<a<b\implies b^n-a^n<(b-a)\cdot nb^{n-1}
命题2: \forall x\in R^+,n\in\mathbb{N^+},\exists!y\in R^+,y^n=x 记为y=\sqrt[n]x
证明: 构造E=\{t\in R^+\mid t^n<x\}, 因为非空有上界\implies\exists y=\sup E
- 非空: (\frac{x}{1+x})^n<\frac{x}{1+x}<x\implies\frac{x}{1+x}\in E
- 有上界: \forall r\geq1+x,r^n>r>x\implies 1+x是上界
现欲证明y^n=x, 只需证明(y^n<x)\lor(y^n>x)都矛盾
(1)假如y^n<x: 构造0<h<\min\{\frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1}},1\}
(y+h)^n-y^n<hn(y+h)^{n-1}<hn(y+1)^{n-1}<x-y^n
\implies (y+h)^n<x\implies y+h\in E
(2)假如y^n>x: 构造0<k<\frac{y^n-x}{ny^{n-1}}
y^n-(y-k)^n<kny^{n-1}<y^n-x
\implies x<(y-k)^n\implies y-k\notin E