根式可解的判别准则
多项式根式可解(Solvable by Radicals)
已知f(x)的分裂域为E/F, 称其为根式可解
如果存在根塔 F=F_1\subseteq\cdots\subseteq F_{r+1}=K
满足 F_{i+1}=F_i(d_i)\land d_i^{n_i}\in F_i, 并且使得E\subseteq K
多项式的伽罗瓦群(Poly's Galois Group)
已知多项式f(x)的分裂域E/F
则其伽罗瓦群记为G_F(f)=\text{Gal}(E/F)
引理1: K/F\implies G_K(f)<G_F(f)
证明: 已知f(x):\{a_1,\cdots,a_n\}, 分裂域L/K和E/F
可构造群同态\phi:\text{Gal}(L/K)\to\text{Gal}(E/F):\eta\mapsto\eta|E
因为L=K(a_1,\cdots,a_n), 以及E=F(a_1,\cdots,a_n)
\ker(\phi)=\{\eta(a_i)=a_i\land\eta|K=I_K\}=\{I_L\}, 故是单同态
<补全根集对称封闭性>
正规闭包的定义(Normal Closure)
已知代数扩张E/F, 则将包含E的最小正规扩张, 称为正规闭包
引理2: 已知域扩张E/F, 正规闭包满足K=\langle\eta(E)\mid\eta\in\text{Gal}(K/F)\rangle
证明: 构造生成子域K'=\langle\eta(E)\mid\eta\in\text{Gal}(K/F)\rangle
E\subseteq K\implies\eta(E)\subseteq K\implies K'\subseteq K\implies K/K'/E/F
\~\eta(K')=\langle\~\eta\eta(E)\rangle=K'\implies K'/F也是正规扩张\implies K=K'
引理3: E/F存在根塔\implies正规闭包K/F也存在根塔
证明: 现设\text{Gal}(K/F)=\{\eta_1,\cdots,\eta_k\}
那么 F=\eta F_1\subseteq\eta F_2\cdots\subseteq\eta F_{r+1}=\eta(E)
满足 \eta F_{i+1}=\eta[F_i(d_i)]=(\eta F_i)(\eta d_i)
其中 (\eta d_i)^{n_i}=\eta(d_i^{n_i})\in\eta F_i
\begin{aligned}
F&\subseteq F(\eta_1d_1)\subseteq F(\eta_1d_1,\eta_1d_2)\subseteq\cdots\subseteq F(\eta_1d_1,\cdots,\eta_1d_r)=F(\eta_1E) \\
&\subseteq F(\eta_1E,\eta_2d_1)\subseteq\cdots\subseteq F(\eta_1E,\eta_2E)\subseteq\cdots\subseteq F(\eta_1E,\cdots,\eta_kE)=K \\
\end{aligned}
命题4: 已知零特征域F含所有n次单位根
那么n维循环扩张\implies根扩张, 并且存在E=F(d),d^n\in F
伽罗瓦判别定理(Galois Criterion)
已知零特征域, 则多项式根式可解\iff其伽罗瓦群为可解群
<因为零特征域, 所以正规扩张就是伽罗瓦扩张>
\impliedby: 记分裂域为E/F, 有可解群|\text{Gal}(E/F)|=m
设m次单位本原根为u, 构造F_1=F(u),K=E(u)
那么K/F_1也是分裂域, 由引理1知\text{Gal}(K/F_1)<\text{Gal}(E/F)
因为可解群的子群还是可解群, 所以H_1=\text{Gal}(K/F_1)也是有限可解群
故其合成群列的商因子H_i/H_{i+1}都为素数阶循环群
\begin{matrix}
& H_1 & \rhd & H_2 & \rhd & \cdots & \rhd & H_{r+1} & =\{e\} \\
& \updownarrow & & \updownarrow & & & & \updownarrow \\
F(u)=& F_1 & \subseteq & F_2 & \subseteq & \cdots & \subseteq & F_{r+1} & =K & =E(u) \\
\end{matrix}
在伽罗瓦扩张K/F_1中, H_1\rhd H_2\iff F_2/F_1是正规扩张
在伽罗瓦扩张K/F_2中, H_2\rhd H_3\iff F_3/F_2是正规扩张 \cdots
因此F_{i+1}/F_i都是正规扩张, 并且\text{Gal}(F_{i+1}/F_i)\cong H_i/H_{i+1}
p_i=|H_i/H_{i+1}| 整除 |H_1|=|\text{Gal}(K/F_1)| 整除 |\text{Gal}(E/F)|=m
因此F_i含有p_i次单位本原根, 又因为\text{Gal}(F_{i+1}/F_i)是p_i阶循环群
由命题4可知 p_i维循环扩张F_{i+1}/F_i也是根扩张, 并且F_{i+1}=F_i(d_i),d_i^{p_i}\in F_i
命题2: 已知零特征域上的多项式x^n-1
其分裂域满足\text{Gal}(E/F)<[\mathbb{Z_n^*},*]
\implies: 由引理3知, 可构造根塔F=F_1\subseteq F_2\subseteq\cdots\subseteq F_{r+1}=L
使得L/F为正规扩张, 并且满足F_{i+1}=F_i(d_i)\land d_i^{n_i}\in F_i, 分裂域E\subseteq L
构造n=\gcd(n_1,\cdots,n_r), 设n次单位本原根为z, 构造K=L(z)
设正规扩张L/F是g(x)的分裂域, 那么K/F是g(x)(x^n-1)的分裂域
F\subseteq[\~F_1=F(z)]\subseteq[\~F_2=\~F_1(d_1)]\subseteq\cdots\subseteq[\~F_{r+1}=\~F_r(d_r)]=K
其中\~F_1/F是(x^n-1)的分裂域, \~F_{i+1}/\~F_i是(x-d_i^{n_i})的分裂域
\begin{matrix}
F & \lhd & \~F_1 & \lhd & \~F_2 & \lhd & \cdots & \lhd & \~F_{r+1} & =K & =L(z) \\
\updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow & & & & \updownarrow \\
H & \supseteq & H_1 & \supseteq & H_2 & \supseteq & \cdots & \supseteq & H_{r+1} & =\{e\} \\
\end{matrix}
在伽罗瓦扩张K/F中, \~F_1/F是正规扩张\iff H\rhd H_1
在伽罗瓦扩张K/\~F_1中, \~F_2/\~F_1是正规扩张\iff H_1\rhd H_2
在伽罗瓦扩张K/\~F_2中, \~F_3/\~F_2是正规扩张\iff H_2\rhd H_3\quad\cdots
因此H_i\rhd H_{i+1}都是正规子群, 并且\text{Gal}(\~F_{i+1}/\~F_i)\cong H_i/H_{i+1}
由命题2可知 H=\text{Gal}(\~F_1/F)是交换群\implies H_i/H_{i+1}都是交换群
因此存在商因子是交换群的正规群列, 所以有可解群H
在伽罗瓦扩张K/F中, E/F是正规扩张\implies\text{Gal}(E/F)<\text{Gal}(K/F)
因为可解群的子群还是可解群, 所以\text{Gal}(E/F)也是可解群
代数无关的定义(Algebraic Independence)
已知域F, 称其子集S为代数无关
如果满足\forall a_1,\cdots,a_n\in S,\forall f(a_1,\cdots,a_n)\neq0
命题1: n次不定方程的伽罗瓦群为S_n
因此当n\geq5时, 一元n次方程没有求根公式
证明: 已知含n个不定元的域F=\mathbb{Q}(t_1,\cdots,t_n)
f(x)=x^n-t_1x^{n-1}+\cdots+(-1)^nt_n\in F[x]
在分裂域E/F, 存在分解f(x)=(x-a_1)\cdots(x-a_n)
由韦达定理知 t_i=\sigma_i(a_1,a_2,\cdots,a_n)
首先证明根集U=\{a_1,\cdots,a_n\}在\mathbb{Q}上代数无关
假设存在h(a_1,\cdots,a_n)=0, 构造对称多项式\Psi=\prod h(x_{j_1},\cdots,x_{j_n})
由对称多项式基本定理知 存在\Psi=g(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)
那么\Psi(a_1,\cdots,a_n)=0\implies g(\sigma(a_1,\cdots,a_n),\cdots,\sigma(a_1,\cdots,a_n))=0
因此g(t_1,\cdots,t_n)=0, 这与\{t_1,\cdots,t_n\}是不定元相矛盾
然后证明f(x)的伽罗瓦群G\cong S_n
f(\eta a_i)=\eta[f(a_i)]=0\implies\eta a_i\in U\implies\eta|U\in S_n
因此可构造群同构\phi:G\to S_n:\eta\mapsto\eta|U
- 运算保持: \sigma(\eta_1\eta_2)=(\eta_1\eta_2)|U=(\eta_1|U)(\eta_2|U)=\sigma(\eta_1)\sigma(\eta_2)
- 单射: E=F(U)\implies[\eta|U=I_U\implies\eta=I_E]\implies\ker(\sigma)=\{I_E\}
- 满射: \forall\tau\in S_n 构造\eta_\tau\in\text{Aut}(E)=\begin{cases}
\eta_\tau(u)=u & u\in\mathbb{Q} \\
\eta_\tau(a_i)=a_{\tau(i)} & a_i\in U\end{cases}
因为t_i=\sigma_i(a_1,a_2,\cdots,a_n)是对称多项式, 所以自同构\eta_\tau(t_i)=t_i
因此F=\mathbb{Q}(U)\implies\eta\in\text{Gal}(E/F)=G\implies\phi(\eta)=\tau
