笔记 | (2)环论

EthanCao

参考教材: 抽象代数基础-丘维声, 抽象代数学-姚慕生

EthanCao

环和子环

伪环的定义(Rng)
若满足加法交换群,乘法半群,左右分配律, 则称[R,+,\cdot]是伪环

加法交换群 (加法封闭, 结合律, 单位元, 逆元, 交换律)
乘法半群 (乘法封闭, 结合律)
左分配律: a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c
右分配律: (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c

环的定义(Ring)
若满足加法交换群,乘法幺半群,左右分配律, 则称[R,+,\cdot]是环

加法交换群 (加法封闭, 结合律, 单位元, 逆元, 交换律)
乘法幺半群 (乘法封闭, 结合律, 单位元)
左分配律: a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c
右分配律: (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c

0a=(0+0)a=0a+0a\implies 0a=0
0a=[1+(-1)]a=1a+(-1)a=0\implies -a=(-1)a

子环的定义(Subring)
若满足加法子群,乘法子幺半群, 则称子集S是R的子环

加法封闭: a+b\in S
加法单位元: 0\in S
加法逆元: -a\in S
乘法封闭: a\cdot b\in S
乘法单位元: 1\in S

示例: 矩阵环

已知交换环R, 则R上的n阶矩阵环为[M_n(R),+,\times]
矩阵加法: A+B=(a_{ij}+b_{ij})
矩阵乘法: A\times B=(\sum a_{ik}b_{kj})

加法交换群: 加法封闭,加法结合律,加法单位元,加法逆元,
乘法幺半群: 乘法封闭,乘法结合律,乘法单位元
左右分配律

对角矩阵是矩阵环的子环

加法封闭: diag\{a_1,\cdots,a_n\}+diag\{b_1,\cdots,b_n\}=diag\{a_1+b_1,\cdots,a_n+b_n\}
加法单位元: 0=diag\{0,\cdots,0\}
加法逆元: -diag\{a_1,\cdots,a_n\}=diag\{-a_1,\cdots,-a_n\}
乘法封闭: diag\{a_1,\cdots,a_n\}\times diag\{b_1,\cdots,b_n\}=diag\{a_1b_1,\cdots,a_nb_n\}
乘法单位元: I=diag\{1,\cdots,1\}

存在环同构f:a\leftrightarrow diag\{a,\cdots,a\}, 故称环R嵌入矩阵环

加法保持: f(a+b)=diag\{a+b,\cdots,a+b\}
=diag\{a,\cdots,a\}+diag\{b,\cdots,b\}=f(a)+f(b)
乘法保持: f(a\cdot b)=diag\{a\cdot b,\cdots,a\cdot b\}
=diag\{a,\cdots,a\}\times diag\{b,\cdots,b\}=f(a)\times f(b)
乘法单位元: f(1)=diag\{1,\cdots,1\}=I
单射: a\neq b\implies diag\{a,\cdots,a\}\neq diag\{b,\cdots,b\}
满射: \forall diag\{a,\cdots,a\},\exists f(a)=diag\{a,\cdots,a\}

行列式: \det A=\sum sgn(\pi)\cdot a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n}
幺半群同态 f:[M_n(R),\times]\to [R,\cdot]:f(A)=\det A

乘法保持: f(A\times B)=\det(A\times B)=(\det A)\cdot(\det B)=f(A)\cdot f(B)
乘法单位元: f(I)=\det I=1

非交换除环示例: 四元数除环

除环的定义(Division Ring)
若所有非零元素都可逆, 则称R是除环

四元数除环(Quaternions)
已知二维复矩阵环M_2(\mathbb{C}), 其子环H满足
元素形式: x=\begin{bmatrix}a&b\\-\bar b&\bar a\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_0+a_1\sqrt{-1}&a_2+a_3\sqrt{-1}\\-a_2+a_3\sqrt{-1}&a_0-a_1\sqrt{-1}\end{bmatrix}
元素行列式: |x|^2=\det\begin{bmatrix}a_0+a_1\sqrt{-1}&a_2+a_3\sqrt{-1}\\-a_2+a_3\sqrt{-1}&a_0-a_1\sqrt{-1}\end{bmatrix}=a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2
伴随矩阵: \text{adj}(x)=\begin{bmatrix}\bar a&-b\\\bar b&a\end{bmatrix}

加法封闭: x_1+x_2=\begin{bmatrix}a_1+a_2&b_1+b_2\\-\overline{(b_1+b_2)}&\overline{(a_1+a_2)}\end{bmatrix}\in H
加法单位元: 0=\begin{bmatrix}0&0\\-\bar0&\bar0\end{bmatrix}\in H
加法逆元: -x=\begin{bmatrix}-a&-b\\-\overline{(-b)}&\overline{(-a)}\end{bmatrix}\in H
乘法封闭: x_1\times x_2=\begin{bmatrix}a_1a_2-b_1\bar b_2&a_1b_2+b_1\bar a_2\\-\overline{(a_1b_2+b_1\bar a_2)}&\overline{(a_1a_2-b_1\bar b_2)}\end{bmatrix}\in H
乘法单位元: I=\begin{bmatrix}1&0\\-\bar0&\bar1\end{bmatrix}\in H
乘法逆元: x^{-1}=\text{adj}(x)\Delta^{-1}=\begin{bmatrix}\bar a\Delta^{-1}&-b\Delta^{-1}\\\bar b\Delta^{-1}&a\Delta^{-1}\end{bmatrix}\in H
乘法非交换: x_1\times x_2\neq x_2\times x_1

方向向量: i=\begin{pmatrix}\sqrt{-1}&0\\0&-\sqrt{-1}\end{pmatrix},j=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},k=\begin{pmatrix}0&\sqrt{-1}\\\sqrt{-1}&0\end{pmatrix}
四元数的坐标形式: x=\begin{pmatrix}a_0+a_1\sqrt{-1}&a_2+a_3\sqrt{-1}\\-a_2+a_3\sqrt{-1}&a_0-a_1\sqrt{-1}\end{pmatrix}=a_0+a_1i+a_2j+a_3k

EthanCao

理想, 环同态

理想的定义(Ideal)
已知环[R,+,\cdot], 则理想I\lhd R满足

加法正规子群: 加法封闭,加法单位元,加法逆元,加法正规
乘法吸收性: (rI\subseteq I)\land(Ir\subseteq I)

理想是子环, 当且仅当理想是整个环
I\lhd R\land I<R\iff I=R
证明: I\lhd R\land I<R\implies1\in I\implies\forall r\in R,r=r1\in I\implies I=R

商环

商环的定义(Quotient Ring)
<理想使得商集能够成为商环>
已知I\lhd R, 则I的商集, 及其加法,乘法运算组成商环[R/I,\oplus,\otimes]
陪集加法: (a+I)\oplus(b+I)=(a+b)+I
陪集乘法: (a+I)\otimes(b+I)=(a\times b)+I

加法交换群, 乘法幺半群, 左右分配律

加法交换群: 由理想是正规子群即可得
乘法良定义: a+I=a'+I,b+I=b'+I\implies a-a'\in I,b-b'\in I
\implies ab-a'b'=(ab-a'b)+(a'b-a'b')=(a-a')b+a'(b-b')\in Ib+a'I\subseteq I
\implies (ab)+I=(a'b')+I
乘法封闭: a\times b\in R\implies(a\times b)+I\in R/I
乘法单位元: (1+I)\in R/I
乘法结合律: [(a+I)\otimes(b+I)]\otimes(c+I)=abc+I=(a+I)\otimes[(b+I)\otimes(c+I)]
左分配律: (a+I)\otimes[(b+I)\oplus(c+I)]=(a+I)\otimes[(b+c)+I]=[a\cdot(b+c)]+I
=(a\cdot b+a\cdot c)+I=[(a\cdot b)+I]\oplus[(a\cdot c)+I]=(a+I)\otimes(b+I)\oplus(a+I)\otimes(c+I)
右分配律: [(a+I)\oplus(b+I)]\otimes(c+I)=[(a+b)+I]\otimes[c+I]=[(a+b)\cdot c]+I
=(a\cdot c+b\cdot c)+I=(a\cdot c)+I\oplus(b\cdot c)+I=(a+I)\otimes(c+I)\oplus(b+I)\otimes(c+I)

环同态

环同态的定义(Ring Homomorphism)
既是加法的群同态, 又是乘法的幺半群同态

加法保持: f(a+b)=f(a)+'f(b)
乘法保持: f(a\cdot b)=f(a)\cdot' f(b)
乘法单位元: f(1)=1'

核是R的理想: 加法子群,乘法吸收性

加法子群: 由群同态即可得
乘法吸收性: f[r\ker(f)]=f(r)f(\ker(f))=f(r)0'=0'\implies r\ker(f)\subseteq\ker(f)

像是R'的子环: 加法子群,乘法子幺半群

加法子群: 由群同态即可得
乘法封闭: a',b'\in im(f)\implies a'=f(a),b'=f(b)
\implies a'\cdot b'=f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)\in im(f)
乘法单位元: 1'=f(1)\in im(f)

环同态基本定理

环同态基本定理(Fundamental Theorem of Homomorphism)
<环同态的像环同构于核的商环>
[a\to f(a)\iff a\to a\cdot\ker(f)]\implies f(a)\leftrightarrow a\cdot\ker(f)\implies im(f)\cong R/\ker(f)

定义从商环到像环的映射\hat{f}:R/\ker(f)\to im(f):\hat{f}(aI)=f(a), 简记I=\ker(f)

群同态基本定理: 映射良定义,加法群同态,满射,单射
乘法保持: \hat f[(a+I)\otimes(b+I)]=\hat f[(ab)+I]=f(ab)=f(a)f(b)=\hat f(a+I)\cdot\hat f(b+I)
乘法单位元: \hat f(1+I)=f(1)=1'

综上所述, \hat{f}:R/\ker(f)\to im(f)是环同构, 故im(f)\cong R/\ker(f)

环同构第一定理

引理: 已知H<R,I\lhd R\implies H+I<R

加法子群: (h_1+i_1)-(h_2+i_2)=(h_1-h_2)+(i_1-i_2)\in H+I
乘法封闭: (h_1+i_1)(h_2+i_2)=h_1h_2+(h_1i_2+i_1h_2+i_1i_2)\in H+I
乘法单位元: 1=1+0\in H+I

环同构第一定理(First Isomorphism Theorem)
<元素a 映射到陪集a+I>
[h\to h+I \iff H/(H\cap I)\cong (H+I)/I]
已知H<R,I\lhd R, 则H\to H+I:f(h)=h+I是环同态

且\ker(f)=\{h\in H|f(h)=h+I=0\iff h\in I\}=H\cap I

加法保持: f(a+b)=(a+b)+I=(a+I)\oplus(b+I)=f(a)\oplus f(b)
乘法保持: f(ab)=ab+I=(a+I)\otimes(b+I)=f(a)\otimes f(b)
乘法单位元: f(1)=1+I

环同构第二定理

环同构第二定理(Second Isomorphism Theorem)
<小理想I的商环映射到理想J的商环>
[a+I\to a+J \iff \frac{(R/I)}{(J/I)}\cong R/J]
已知I\lhd R,J\lhd R,I\subseteq J, 则f(a+I)=a+J是环同态

且\ker(f)=\{a+I|f(a+I)=a+J=0\iff a\in J\}=J/I

加法保持: f[(a+I)\oplus(b+I)]=f[(a+b)+I]
=(a+b)+J=(a+J)\oplus(b+J)=f(a+I)\oplus f(b+I)
乘法保持: f[(a+I)\otimes(b+I)]=f[ab+I]
=ab+J=(a+J)\otimes(b+J)=f(a+I)\otimes f(b+I)
乘法单位元: f(1+I)=1+J

EthanCao

生成理想, 理想的运算, 中国剩余定理

生成理想的定义一(Generated Ideal)
子集A所生成的理想 (A)=\bigcap \{I|A\subseteq I\land I\lhd R\}

加法子群: 加法封闭,加法单位元,加法逆元
乘法吸收性: \forall a\in(A)\implies a\in\forall I_i\implies ra\in\forall I_i\implies ra\in(A)

生成理想的定义二(Generated Ideal)
子集A所生成的理想 (A)=\{\sum x_ia_1y_i+\cdots+\sum x_ia_ny_i|x_i,y_i\in R\}
若是交换环, 则(A)=\{r_1a_1+\cdots+r_na_n|r_i\in R\}

包含子集: a_t=1a_t1\in(A)
加法封闭: \sum\limits_{a_t\in A}(\Sigma x_ia_ty_i)+\sum\limits_{a_t\in A}(\Sigma x_ja_ty_j)=\sum\limits_{a_t\in A}(\sum\limits_{i+j} x_ka_ty_k)\in(A)
加法单位元: 0=0a_t0\in(A)
加法逆元: -\sum\limits_{a_t\in A}(\Sigma x_ia_ty_i)=\sum\limits_{a_t\in A}(\Sigma (-x_i)a_ty_i)\in(A)
乘法吸收性: r\sum\limits_{a_t\in A}(\Sigma x_ia_ty_i)=\sum\limits_{a_t\in A}(\Sigma (rx_i)a_ty_i)\in(A)

(A)_1=\bigcap\{I|A\subseteq I\land I\lhd R\}
(A)_2=\{\sum x_ia_1y_i+\cdots+\sum x_ia_ny_i\}
现欲证明上述两种定义等价:
(A)_1\subseteq(A)_2: 因为(A)_2是包含A的理想, 所以(A)_1\subseteq(A)_2
(A)_2\subseteq(A)_1: 由封闭性和吸收性可知, 对于任意包含A的理想I
都有\sum x_ia_1y_i+\cdots+\sum x_ia_ny_i\in I\implies (A)_2\subseteq(A)_1

理想的运算

理想加法: I+J:=\{a+b|a\in I,b\in J\}

加法子群: (a_1+b_1)-(a_2+b_2)=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)\in I+J
乘法吸收性: r(a+b)=ra+rb\in rI+rJ\subseteq I+J

理想乘法: IJ:=\{a_1b_1+\cdots+a_nb_n|a_i\in I,b_i\in J\}

加法子群: \sum a_ib_i-\sum a_jb_j=\sum a_ib_i+\sum(-a_j)b_j\in IJ
乘法吸收性: r\sum a_ib_i=\sum (ra_i)b_i\in IJ

IJ\subseteq I\cap J\subseteq I+J

\sum a_ib_i\in I\land\sum a_ib_i\in J\implies IJ\subseteq I\cap J
\forall x\in I\cap J,x=x+0\in I+J\implies I\cap J\subseteq I+J

理想的运算法则

加法结合律: (I+J)+K=I+(J+K)
加法交换律: I+J=J+I
乘法结合律: (IJ)K=I(JK)
左右分配律: I(J+K)=IJ+IK,(J+K)I=JI+KI

整数环上的理想

(n)=n\mathbb{Z}
(n)(m)=\{\sum(k_in)(l_im)|k_i,l_i\in\mathbb{Z}\}=(nm)
(n)\cap(m)=(\text{lcm}(n,m))
(n)+(m)=\{kn+lm|k,l\in\mathbb{Z}\}=(\gcd(n,m))

中国剩余定理

理想互素的定义(Coprime Ideals)
如果I+J=R, 那么称I与J互素

如果I和J都与K互素, 那么IJ也与K互素
证明: I+K=R\land J+K=R
\implies\exists a\in I,b\in J,\ a+k_1=1\land b+k_2=1
\implies ab+(ak_2+k_1b+k_1k_2)=1\in IJ+K
\implies IJ+K=R

中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)
如果理想两两互素, 那么同余方程组有解
\begin{cases} x\equiv a_1\pmod{I_1}\iff x+I_1=a_1+I_1 \\ x\equiv a_2\pmod{I_2}\iff x+I_2=a_2+I_2 \\ \hphantom{x}\cdots \\ x\equiv a_n\pmod{I_n}\iff x+I_n=a_n+I_n \\ \end{cases}

用构造法证明: I_i+I_j=R\implies I_i+m_j\ni 1
故可构造 M_i=m_1\cdots m_{i-1}\ m_{i+1}\cdots m_n(互素代表元)
方程组的解为 x=a_1M_1+\cdots+a_nM_n

EthanCao

整环与素理想, 域与极大理想

整环的定义(Integral Domain)
将无零因子的非零交换环称为整环

R不是零环: R\neq\{0\}
R是交换环: \forall a,b\in R,ab=ba
R没有零因子: \forall a,b\in R,ab=0\implies a=0\lor b=0
\iff乘法消去律: ab=ac\land a\neq0\implies b=c

素理想的定义(Prime Ideal)

真理想: \mathfrak{p}\neq R
欧几里得引理: \forall a,b\in R,ab\in \mathfrak{p}\implies a\in \mathfrak{p}\lor b\in \mathfrak{p}

交换环R的素理想\mathfrak{p}\iff商环R/\mathfrak{p}是整环

R是交换环\iff R/\mathfrak{p}是交换环
\mathfrak{p}是真理想\iff \mathfrak{p}\neq R\iff R/\mathfrak{p}\neq\{0\}\iff R/\mathfrak{p}不是零环
\mathfrak{p}满足欧几里得引理\iff[ab\in \mathfrak{p}\implies a\in \mathfrak{p}\lor b\in \mathfrak{p}]
\iff [ab+\mathfrak{p}=0+\mathfrak{p}\implies (a+\mathfrak{p}=0+\mathfrak{p})\lor (b+\mathfrak{p}=0+\mathfrak{p})]
\iff R/\mathfrak{p}没有零因子

域的定义(Field)
将可交换的除环称为域

[F,+]是加法交换群 (加法封闭,结合律,单位元,逆元,交换律)
[F\setminus\{0\},\cdot]是乘法交换群 (乘法封闭,结合律,单位元,逆元,交换律)
左右分配律: a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c=(b+c)\cdot a

极大理想的定义(Maximal Ideal)

真理想: M\neq R
极大性: \forall I\lhd R,M\subsetneq I\implies I=R

交换环R的极大理想M\iff商环R/M是域

R是交换环\iff是交换环
M是真理想\iff M\neq R\iff R/M\neq\{0\}\iff R/M不是零环
M具有极大性\iff\forall a\notin M,(M\cup a)=M+Ra=R
\iff\forall a\notin M,1\in M+Ra
\iff\forall a\notin M,\exist r\in R,ar-1\in M
\iff\forall a\notin M,\exists r\in R,(a+M)\otimes(r+M)=1+M
\iff R/M是除环

已知交换环, 极大理想\implies素理想
\forall a,b\in R,ab\in M\land a\notin M
\implies M+(a)=M+Ra=R
\implies 1\in M+Ra\implies b\in Mb+Rab\subseteq M

域\implies整环
\forall a,b\in R,ab=0\land a\neq 0\implies a^{-1}ab=a^{-1}0\implies b=0

有限整环\implies域
证明: 对于任意c\neq0, 构造映射R\to R:f_c(r)=cr
由于f_c是双射, 所以 \forall c\neq0,\exists r_0\in R,cr_0=1

单射: \forall a,b\in R,ca=cb\implies c(a-b)=0\implies a=b
满射: 由于单射满足 |Im|=|Dom|=n\implies Im(f_c)=R

EthanCao

分式环, 分式域

乘法子集的定义(Multiplicative Subset)
将[R^*,\cdot]的乘法子幺半群, 称为乘法子集

乘法封闭: \forall a,b\in S,ab\in S
乘法单位元: 1\in S

分式环的定义(Fraction Ring)
已知交换环R, 及其乘法子集S\subseteq R^+
则分式环为 S^{-1}R=\{\frac{r}{s}|r\in R,s\in S\}/\sim
等价关系: \frac{r}{s}\sim\frac{r'}{s'}\iff\exists t\in S,t(rs'-r's)=0 (引入t来保证传递性)
加法: \frac{r}{s}+\frac{r'}{s'}=\frac{rs'+r's}{ss'} 乘法: \frac{r}{s}\cdot\frac{r'}{s'}=\frac{rr'}{ss'}

首先证明\sim是等价关系

自反性: t(rs-rs)=0\implies\frac{r}{s}\sim\frac{r}{s}
对称性: \frac{r}{s}\sim\frac{r'}{s'}\iff\exists t\in S,t(rs'-r's)=0\iff(-t)(r's-rs')=0\iff\frac{r'}{s'}\sim\frac{r}{s}
传递性: \frac{r_1}{s_1}\sim\frac{r_2}{s_2},\frac{r_2}{s_2}\sim\frac{r_3}{s_3}\implies \exists t_1(r_1s_2-r_2s_1)=0\land\exists t_2(r_2s_3-r_3s_2)=0
\implies令T=t_1t_2s_2\implies Tr_1s_3=(t_1t_2)s_2r_1s_3=(t_1t_2)s_1r_2s_3=(t_1t_2)s_1r_3s_2=Tr_3s_1
\implies T(r_1s_3-r_3s_1)=0\implies\frac{r_1}{s_1}\sim\frac{r_3}{s_3}

然后证明[S^{-1}R,+,\cdot]是交换环

加法良定义: \frac{r_1}{s_1}+\frac{r_2}{s_2}=\frac{r_1s_2+r_2s_1}{s_1s_2}=\frac{r_1's_2'+r_2's_1'}{s_1's_2'}=\frac{r_1'}{s_1'}+\frac{r_2'}{s_2'}
加法封闭: \frac{r_1}{s_1}+\frac{r_2}{s_2}=\frac{r_1s_2+r_2s_1}{s_1s_2}\in S^{-1}R
加法结合律: \frac{r_1}{s_1}+(\frac{r_2}{s_2}+\frac{r_3}{s_3})=(\frac{r_1}{s_1}+\frac{r_2}{s_2})+\frac{r_3}{s_3}
加法单位元: \frac{r}{s}+\frac{0}{1}=\frac{r\cdot1+0\cdot s}{s\cdot1}=\frac{r}{s}
加法逆元: \frac{r}{s}+\frac{-r}{s}=\frac{r\cdot s+(-r)\cdot s}{s\cdot s}=\frac{0}{s^2}=\frac{0}{1}
加法交换律: \frac{r_1}{s_1}+\frac{r_2}{s_2}=\frac{r_1s_2+r_2s_1}{s_1s_2}=\frac{r_2s_1+r_1s_2}{s_2s_1}=\frac{r_2}{s_2}+\frac{r_1}{s_1}
乘法良定义: \frac{r_1}{s_1}\cdot\frac{r_2}{s_2}=\frac{r_1r_2}{s_1s_2}=\frac{r_1'r_2'}{s_1's_2'}=\frac{r_1'}{s_1'}\cdot\frac{r_2'}{s_2'}
乘法封闭: \frac{r_1}{s_1}\cdot\frac{r_2}{s_2}=\frac{r_1r_2}{s_1s_2}\in S^{-1}R
乘法结合律: \frac{r_1}{s_1}\cdot(\frac{r_2}{s_2}\cdot\frac{r_3}{s_3})=(\frac{r_1}{s_1}\cdot\frac{r_2}{s_2})\cdot\frac{r_3}{s_3}
乘法单位元: \frac{r}{s}\cdot\frac{1}{1}=\frac{r\cdot1}{s\cdot1}=\frac{r}{s}
乘法交换律: \frac{r_1}{s_1}\cdot\frac{r_2}{s_2}=\frac{r_1r_2}{s_1s_2}=\frac{r_2r_1}{s_2s_1}=\frac{r_2}{s_2}\cdot\frac{r_1}{s_1}
左右分配律: \frac{r_1}{s_1}\cdot(\frac{r_2}{s_2}+\frac{r_3}{s_3})=\frac{r_1}{s_1}\cdot\frac{r_2}{s_2}+\frac{r_1}{s_1}\cdot\frac{r_3}{s_3}
(\frac{r_1}{s_1}+\frac{r_2}{s_2})\cdot\frac{r_3}{s_3}=\frac{r_1}{s_1}\cdot\frac{r_3}{s_3}+\frac{r_2}{s_2}\cdot\frac{r_3}{s_3}

分式域的定义(Fraction Field)
已知整环R, 及其非零子集S=R^+
则分式域为 \text{Frac}(R)=S^{-1}R=\{\frac{r}{s}|r\in R,s\in S\}/\sim
等价关系: \frac{a}{b}\sim\frac{c}{d}\iff ad-bc=0

传递性: \frac{r_1}{s_1}\sim\frac{r_2}{s_2},\frac{r_2}{s_2}\sim\frac{r_3}{s_3}\implies\begin{cases}r_1s_2=r_2s_1\\r_2s_3=r_3s_2\end{cases}\implies\begin{cases}(r_1s_2)s_3=(r_2s_1)s_3\\(r_2s_3)s_1=(r_3s_2)s_1\end{cases}
\implies r_1s_2s_3=r_3s_2s_1\overset{消去律}{\implies}r_1s_3=r_3s_1\implies\frac{r_1}{s_1}\sim\frac{r_3}{s_3}
R是整环\implies R^*是封闭的乘法子集\implies S^{-1}R是交换环
任意非零分式\frac{a}{b}\neq 0\implies a,b\in R^*\implies\exists\frac{b}{a}\in S^{-1}R,\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=1\implies S^{-1}R是除环

EthanCao

整除关系, 素元和不可约元, 最大公因数

整除的定义(Divide)
已知整环R, 则a|b\iff\exists k\in R,ak=b

相伴的定义(Associate)
已知整环R, 则a\sim b\iff a|b\land b|a\iff\exists u\in R^*,a=ub

素元的定义(Prime Element)
<p是素元\iff(p)是非零素理想>

非零: p\neq0
不可逆: p\notin R^*
欧几里得引理: p|ab\implies p|a\lor p|b

不可约元的定义(Irreducible Element)

非零: x\neq0
不可逆: x\notin R^*
不可约分: p=ab\implies a\in R^*\lor b\in R^*

素元\implies不可约元
证明: 已知素元p=ab\implies p|ab\implies p|a\lor p|b

如果p|a, 那么p|a\land a|p\implies p\sim a\implies b\in R^*
如果p|b, 那么p|b\land b|p\implies p\sim b\implies a\in R^*

示例: 在整环\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]中, 3是不可约元, 但不是素元
即3|6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\nRightarrow 3\mid(1+\sqrt{-5})\lor 3\mid(1-\sqrt{-5})

最大公因数的定义(Greatest Common Divisor)
已知整环R, 将最大公因数记为d=\gcd(a,b)

d是a,b的因数: d|a\land d|b
d是最大的因数: \forall c\in R,c|a\land c|b\implies c|d

最小公倍数的定义(Least Common Multiple)
已知整环R, 将最小公倍数记为m=lcm(a,b)

m是a,b的倍数: a|m\land b|m
m是最小的倍数: \forall n\in R,a|n\land b|n\implies m|n

最大公因数\iff最小公倍数, 即\exists \gcd(a,b)\iff \exists lcm(a,b)
\implies: 已知\gcd(a,b), 欲证明m=\frac{ab}{\gcd(a,b)}是最小公倍数

m是a,b的倍数: a|m\land b|m
m是最小的倍数: \forall n\in R,a|n\land b|n\implies ab|bn\land ab|an
\implies ab|\gcd(an,bn)\implies ab|n\gcd(a,b)\implies \frac{ab}{\gcd(a,b)}|n\implies m|n

\impliedby: 已知lcm(a,b),欲证明d=\frac{ab}{lcm(a,b)}是最大公因数

d是a,b的因数: d|a\land d|b
d是最大的因数: \forall c\in R,c|a\land c|b\implies cb|ab\land ca|ab
\implies\text{lcm}(ca,cb)|ab\implies c\,\text{lcm}(a,b)|ab\implies c|\frac{ab}{lcm(a,b)}\implies c|d

EthanCao

最大公因数整环

最大公因数整环的定义(GCD Domain)
若整环[R,+,\cdot]的任意两个非零元素都有最大公因数, 则称R为最大公因数整环

R不是零环: R\neq\{0\}
R是交换环: \forall a,b\in R,ab=ba
R没有零因子: \forall a,b\in R,ab=0\implies a=0\lor b=0
最大公因数: \forall a,b\in R^+,\exists\gcd(a,b)\in R

示例1: 在整环\mathbb{Z[\sqrt{-5}]}中, 9和6+3\sqrt{-5}没有最大公因数
因为3和2+\sqrt{-5}都是公因数, 但是它们之间不存在整除关系

已知最大公因数整环R, 则 \gcd(a,b)\cdot lcm(a,b)\sim ab

a\mid\frac{ab}{\gcd(a,b)}\land b\mid\frac{ab}{\gcd(a,b)}\implies lcm(a,b)\mid\frac{ab}{\gcd(a,b)}\implies\gcd(a,b)\cdot lcm(a,b)|ab
\begin{cases} \frac{ab}{lcm(a,b)}|a=\frac{ab}{lcm(a,b)}\cdot \frac{lcm(a,b)}{b} \\ \frac{ab}{lcm(a,b)}|b=\frac{ab}{lcm(a,b)}\cdot \frac{lcm(a,b)}{a} \\ \end{cases}\implies\frac{ab}{lcm(a,b)}|\gcd(a,b)\implies ab|\gcd(a,b)\cdot lcm(a,b)

已知最大公因数整环R, 且(a)+(b)=(d), 现欲证明d=\gcd(a,b)

d是a,b的因数: (a)\subseteq(d)\land(b)\subseteq(d)\implies d|a\land d|b
d是最大的因数: \forall c\in R,c|a\land c|b\implies a,b\in(c)\implies (d)=Ra+Rb\subseteq(c)\implies c|d

已知最大公因数整环R, 且(a)\cap(b)=(m), 现欲证明m=lcm(a,b)

m是a,b的倍数: (m)\subseteq(a)\land(m)\subseteq(b)\implies a|m\land b|m
m是最小的倍数: \forall n\in R,a|n\land b|n\implies n\in(a)\cap(b)=(m)\implies m|n

在最大公因数整环中, 素元\iff不可约元
\impliedby: 已知不可约元p, 现欲证明p|ab\land p\nmid a\implies p|b
存在分解p=p_0\cdot\gcd(a,p)\land p\nmid a\implies p\sim p_0\land\gcd(a,p)\in R^*
\implies ax+py=1\implies abx+pby=b\land\exists k\in R,pk=ab
\implies pkx+pby=p(kx+by)=b\implies p|b

EthanCao

唯一分解整环

唯一分解整环的定义(UFD, Unique Factorization Domain)
若整环R满足算数基本定理, 则称为唯一分解整环

R不是零环: R\neq\{0\}
R是交换环: \forall a,b\in R,ab=ba
R没有零因子: \forall a,b\in R,ab=0\implies a=0\lor b=0
唯一分解性: \forall x\in R^+\setminus R^*,x\sim p_1p_2\cdots p_n\iff x\sim\prod p^{deg_p(x)}

示例1: \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]是整环, 但不是唯一分解整环
因为存在不唯一分解 6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})

唯一分解整环\implies最大公因数整环
已知 a\sim\prod p^{v_p(a)},b\sim\prod p^{v_p(b)}
现欲证明 \gcd(a,b)\sim d=\prod p^{\min(v_p(a),v_p(b))}
同理可证 \text{lcm}(a,b)\sim m=\prod p^{\max(v_p(a),v_p(b))}

d是a,b的因数: d\mid\prod p^{v_p(a)}\land d\mid\prod p^{v_p(b)}
d是最小的因数: \exists c=\prod p^{v_p(c)}\in R,c|a\land c|b
\implies v_p(c)\le v_p(a)\land v_p(c)\le v_p(b)
\implies v_p(c)\le\min(v_p(a),v_p(b))\implies c|d

EthanCao

主理想整环

主理想整环的定义(Principal Ideal Domain)
若整环[R,+,\cdot]的每个理想都是主理想, 则称为主理想整环

R不是零环: R\neq\{0\}
R是交换环: \forall a,b\in R,ab=ba
R没有零因子: \forall a,b\in R,ab=0\implies a=0\lor b=0
只有主理想: \forall I\lhd R,I=(a)=Ra

示例: [\mathbb{Z},+,\cdot]是主理想整环, 且I=(n)=n\mathbb{Z}
如果I=\{0\}, 那么I=(0)=0\mathbb{Z}
如果I\neq\{0\}, 那么由良序公理知, 可取出最小正整数n\in I
作带余除法 \forall m\in I,m=qn+r, 满足r=m-qn\in I
因为n是最小正整数, 所以r=0\implies I=(n)=n\mathbb{Z}

主理想整环中, 非零素理想\iff极大理想
\implies: 任取稍大理想I\supsetneq P, 现欲证明I=R
主理想整环使得 P=(p)=Rp\land I=(a)=Ra
P\subsetneq I\implies p\in I=(a)\implies\exists r\in R,p=ra
因为P是素理想, 所以p=ra\in P\land a\notin P\implies r\in P\implies\exists k\in R,r=kp
\implies p=ra=kpa\implies p(1-ka)=0\land p\neq0\implies ka=1\in I\implies I=R

实例1: \mathbb{Z_p}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} 是域
证明: 因为[\mathbb{Z},+,\cdot]是主理想整环
所以非零素理想p\mathbb{Z}是极大理想, 因此\mathbb{Z_p}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}是域

极大理想元的定义(Maximal Ideal Element)
如果主理想(a)是非零极大理想, 那么称a是极大理想元

在主理想整环中, 不可约元\iff极大理想元
\implies: 不可约元满足 p\neq0\land p\notin R^*\implies(p)\neq(0)\land (p)\neq(R)
(m)\supseteq (p)\implies m|p\implies m\in R^*\lor m\sim p\implies(m)=R\lor(m)=(a)

推论1: 在主理想整环中, 不可约元\iff素元
\implies: 不可约元\implies极大理想元\implies素元

无穷理想升链的并集是理想
I_1\subsetneq I_2\subsetneq\cdots\implies\bigcup I_k是理想

加法封闭: \forall a\in I_i,b\in I_j,a+b\in I_i\cup I_j
加法单位元: 0\in\forall I_k\implies0\in\bigcup I_k
加法逆元: a\in I_k\implies -a\in I_k\implies -a\in\bigcup I_k
乘法吸收性: r\in R,a\in I_k\implies ra\in I_k\implies ra\in\bigcup I_k

主理想整环\implies诺特环(不存在无穷严格升链)
证明: 假设主理想整环R 存在理想升链(a_1)\subsetneq(a_2)\subsetneq\cdots
因为升链理想的并集还是理想, 所以\bigcup(a_k)=(a), 故是有限升链

主理想整环\implies唯一分解整环

分解存在性证明:
已知主理想整环R, 将其中不可分解的元素记为集合S, 现欲证明S为空
若S非空, 则可构造S中最长的有限升链 (a_1)\subsetneq\cdots\subsetneq(a_n),a_i\in S

假如a_n是不可约元素, 那么a_n\notin S, 得出矛盾
假如a_n是可约元素, 那么a_n=bc\implies (a_n)\subsetneq(b)\land(a_n)\subsetneq(c)
(a_n)是S的升链极大元\implies b,c\notin S\implies\exists b=\prod p^{v_p(b)},c=\prod p^{v_p(c)}
\implies a_n=bc=\prod p^{v_p(b)+v_p(c)} 得出矛盾

分解唯一性证明:
已知主理想整环R, 且x\sim p_1p_2\cdots p_m\land x\sim q_1q_2\cdots q_n
因为主理想整环中素元素\iff不可约元素
所以 p_1|x\implies p_1|q_1\lor p_1|q_2\cdots\lor p_1|q_n
\implies p_1\sim q_1\lor p_1\sim q_2\lor\cdots\lor p_1\sim q_n
重复上述过程即可得到 p_1p_2\cdots p_m\sim q_1q_2\cdots q_n

EthanCao

欧几里得整环

欧几里得整环的定义(Euclidean Domain)
若整环[R,+,\cdot]能作带余除法, 且有度量函数v:R^*\to\mathbb{N}

R不是零环: R\neq\{0\}
R是交换环: \forall a,b\in R,ab=ba
R没有零因子: \forall a,b\in R,ab=0\implies a=0\lor b=0
带余除法: \forall m,n\neq0\in R,\exists q,r\in R, m=nq+r, 其中r=0\lor v(r)<v(n)

欧几里得整环\implies主理想整环
证明: 已知欧几里得整环R, 欲证明任意理想I是主理想

如果I=\{0\}, 那么I=(0)
如果I\neq\{0\}, 那么由良序公理可知 I中存在最小度量元素n
对于任意m\in I, 作带余除法m=nq+r
当r=0时, m=nq\in(n)
当r\neq0时, r=m-nq\in I\land v(r)<v(n), 矛盾

域\implies欧几里得整环

F不是零环: 1\neq0\implies F\neq\{0\}
F是交换环: \forall a,b\in F,ab=ba
F没有零因子: \forall a,b\in R,ab=0\land b\neq0\implies a=(ab)b^{-1}=0
带余除法: \forall m\in R,n\in R^*,\exists n^{-1}m\in R, m=n\cdot (n^{-1}m)+0

域\implies欧几里得整环\implies主理想整环\implies唯一分解整环\implies最大公因数整环\implies整环