笔记 | (1)向量空间

EthanCao

参考教材: 线性代数应该这样学

EthanCao

向量空间与子空间

域的定义(Field)

加法交换群
非零乘法交换群
乘法对加法分配律

向量空间的定义(Vector Space)
<向量空间是域上的模>
已知域[F,+,\times], 那么[V,\oplus,\cdot]是F上的向量空间
向量加法: \oplus:V\times V\to V:(v,w)\mapsto v\oplus w\in V
标量乘法: \cdot:F\times V\to V:(\lambda,v)\mapsto\lambda\cdot v\in V

加法封闭: \forall v,w\in V,v\oplus w\in V
加法结合律: \forall u,v,w\in V,(u\oplus v)\oplus w=u\oplus(v\oplus w)
加法单位元: \exists 0\in V,\forall v\in V,v\oplus 0=v
加法逆元: \forall v\in V,\exists -v\in V,v\oplus(-v)=0
加法交换律: \forall v,w\in V,v\oplus w=w\oplus v
数乘封闭: \forall\lambda\in F,\forall v\in V,\lambda\cdot v\in V
数乘兼容性: \forall\lambda,\mu\in F,\forall v\in V,(\lambda\times\mu)\cdot v=\lambda\cdot(\mu\cdot v)
数乘单位元: \forall v\in V,1_F\cdot v=v
数乘对向量加法的分配律: \forall\lambda\in F,\forall v,w\in V,\lambda\cdot(v\oplus w)=\lambda\cdot v\oplus\lambda\cdot w
数乘对标量加法的分配律: \forall\lambda,\mu\in F,\forall v\in V,(\lambda+\mu)\cdot v=\lambda\cdot v\oplus\mu\cdot v

子空间的定义(Subspace)
向量空间[V,+,\cdot], 子集U\subseteq V
如果满足则称[U,+,\cdot]是V的子空间

加法单位元: 0\in U
加法封闭: \forall u,v\in U,u+v\in U
数乘封闭: \forall\lambda\in F,\forall u\in U,\lambda\cdot u\in U

[定义]
子空间的和: U_1+\cdots+U_n=\{u_1+\cdots+u_n:u_i\in U_i\}

加法单位元: 0=0+\cdots+0\in U_1+\cdots+U_n
加法封闭: (u_1+\cdots+u_n)+(v_1+\cdots+v_n)
=(u_1+v_1)+\cdots+(u_n+v_n)\in U_1+\cdots+U_n
数乘封闭: \lambda\cdot(u_1+\cdots+u_n)=(\lambda\cdot u_1)+\cdots+(\lambda\cdot u_n)

命题: 子空间的和是包含的最小子空间

子空间的和是子空间: 已证明
子空间的和包含这些子空间: u_i\in U_i
\implies 0+\cdots+u_i+\cdots+0\in U_1+\cdots+U_n
子空间的和是最小子空间: \forall W:\bigcup_{i=1}^nU_i\subseteq W
\implies \sum u_i\in W\implies U_1+\cdots+U_n\subseteq W

[定义]
子空间的直和: U_1\oplus\cdots\oplus U_n
如果满足向量拆分v=u_1+\cdots+u_n具有唯一性

命题: U_1+\cdots+U_n是直和\iff[u_1+\cdots+u_n=0\implies \forall u_i=0]

\Rrightarrow: 因为直和向量的表示方式唯一, 所以u_1+\cdots+u_n=0\iff\forall u_i=0
\Lleftarrow: 假如存在两种表示方式 \exists u_i,w_i\in U_i,x=u_1+\cdots+u_n=w_1+\cdots+w_n
那么 (u_1-w_1)+\cdots+(u_n-w_n)=0\implies\forall u_i-w_i=0

EthanCao

线性组合与张成空间

\{v_i\}的线性组合: a_1v_1+\cdots+a_nv_n:a_i\in F
\{v_i\}的张成空间: \text{span}(v_1,\cdots,v_n)=\{a_1v_1+\cdots+a_nv_n:a_i\in F\}

加法单位元: 0=0v_1+\cdots+0v_n
加法封闭: (a_1v_1+\cdots+a_nv_n)+(b_1v_1+\cdots+b_nv_n)
=(a_1+b_1)v_1+\cdots+(a_n+b_n)v_n
数乘封闭: \lambda(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=(\lambda a_1)v_1+\cdots+(\lambda a_n)v_n

命题: 张成空间是包含的最小子空间

张成空间是子空间: 已证明
张成空间包含这组向量: v_i=0v_1+\cdots+1v_i+\cdots+0v_n
张成空间是最小子空间: \forall W:v_i\in W\implies Fv_i\subseteq W
\implies Fv_1+\cdots+Fv_n\subseteq W\implies \text{span}(v_1,\cdots,v_n)\subseteq W

[定义]
有限维向量空间: 存在有限V=\text{span}(v_1,\cdots,v_m)
张成组(v_1,\cdots,v_m): 任意向量都能由其线性表出

[定义]
线性无关: a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0\implies \forall a_i=0
线性无关组(v_1,\cdots,v_n), 其中空向量组线性无关

命题: 向量组线性无关\iff向量组对其他向量的表出方式唯一
证明: (a_1-b_1)v_1+\cdots+(a_n-b_n)v_n=0:\forall(a_i-b_i)=0
\iff x=a_1v_1+\cdots+a_nv_n=b_1v_1+\cdots+b_nv_n:\forall a_i=b_i

命题: 向量组线性相关\iff组中存在向量可以被其他表出
证明: \exists a_i\neq0,a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0\iff v_i=\frac{-a_1}{a_i}v_1+\cdots+\frac{-a_n}{a_i}v_n

命题: 线性无关组的长度 <= 张成组的长度
用构造法证明: 已知线性无关组(u_1,\cdots,u_n), 张成组S_0=(w_1,\cdots,w_m)

第1步: u_1\in V=\text{span}(S_0)\implies S_0\cup\{u_1\}线性相关
\implies u_1=a_1w_1+\cdots+a_mw_m\implies\exists w_1=\frac{1}{a_1}u_1+\frac{-a_2}{a_1}w_2+\cdots+\frac{-a_m}{a_1}w_m
构造 S_1=S_0\cup\{u_1\}\setminus\{w_1\}\implies\text{span}(S_1)=\text{span}(S_0)=V

第k步: u_k\in V=\text{span}(S_{k-1})\implies S_{k-1}\cup\{u_k\}线性相关
\implies u_k=(a_1u_1+\cdots+a_{k-1}u_{k-1})+[a_kw_k]+a_{k+1}w_{k+1}+\cdots+a_mw_m
\implies w_k=(\frac{-a_1}{a_k}u_1+\cdots+\frac{-a_{k-1}}{a_k}u_{k-1})+[\frac{1}{a_k}u_k]+\frac{-a_{k+1}}{a_k}w_{k+1}+\cdots+\frac{-a_m}{a_k}w_m
构造 S_k=S_{k-1}\cup\{u_k\}\setminus\{w_k\}\implies\text{span}(S_k)=\text{span}(S_{k-1})=V

由于(u_1,\cdots,u_n)线性无关, 所以每步中都会存在系数非零的w_k
重复n次得到S_n=(u_1,\cdots,u_n,w_{n+1},\cdots,w_m)\implies n\le m

[定义]向量空间的基: 既是线性无关组, 又是张成组

命题: 每个线性无关组都能扩充为基
证明: 如果线性无关组不是张成组, 那么存在不能表出的向量
该向量加上后仍保持线性无关, 不断重复直到能表出任意向量

命题: 每个张成组都能缩减为基
证明: 如果张成组不线性无关, 那么有向量可以被其他表出
该向量去掉后仍保持张成全空间, 不断重复直到张成组线性无关

命题: 有限向量空间都有等长基, 长度记为\dim V

证明: 因为基是线性无关的张成组,
并且线性无关组的长度<=张成组的长度
那么 |B_1|\le|B_2|\land|B_2|\le|B_1|\implies|B_1|=|B_2|

命题: 子空间U\subseteq V\implies\dim U\le\dim V
证明: 因为基B_U是V的线性无关组, 基B_V是V的张成组
所以 |B_U|\le|B_V|\implies\dim U\le\dim V